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標題:
x=1到16，判別(10^x+1)是否質數
發問:
最佳解答:
其實題目可更改為： 若 (2,m)=1、s 為非負整數、a 為大於 1 的正整數， 若 a^(m*2^s) + 1 為質數，則 m = 1。 因為當 m > 1 時： a^(m*2^s) + 1 = [ a^(2^s) ]^m + 1 ≡ (-1)^m + 1 ≡ 0 (mod a^(2^s) - 1) 所以 a^(m*2^s) + 1 為 a^(2^s) - 1 的倍數且 [ a^(m*2^s) + 1 ] > [ a^(2^s) - 1 ] ---> a^(m*2^s) + 1 必為合數。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以您的問題 10^x+1 是否為質數， 只有當 x = 2^s 時候才有可能。 (1) f(1) = 10^1+1 = 11 為質數。 (2) f(2) = 10^2+1 = 101 為質數。 (3) f(4) = 10^4+1 = 10001 = 73*137 不為質數。 (4) f(8) = 10^8+1 = 100000001 = 17*5882353 不為質數。 (5) f(16) = 10^16+1 = 10000000000000001 = 353*449*641*1409*69857 不為質數。 2009-11-11 17:43:04 補充： 感謝 doraemonpaul 提供的資訊！ 2009-11-11 23:52:43 補充： 更正錯誤之處，打太快！ 因為當 m > 1 時： a^(m*2^s) + 1 = [ a^(2^s) ]^m + 1 ≡ (-1)^m + 1 ≡ 0 (mod a^(2^s) + 1) 所以 a^(m*2^s) + 1 為 a^(2^s) + 1 的倍數且 [ a^(m*2^s) + 1 ] > [ a^(2^s) + 1 ] ---> a^(m*2^s) + 1 必為合數。 2009-11-11 23:58:35 補充： 所以 [1] f(3)、f(5)、f(7)、f(9)、f(11)、f(13)、f(15) 必有 10^(2^0)+1 = 11 的因數。 [2] f(6)、f(10)、f(14) 必有 10^(2^1)+1 = 101 的因數。 [3] f(12) 必有 10^(2^2)+1 = 10001 的因數。
其他解答:
cutebaby大： 您應該證明錯了。 a^(2^s)≡1(mod a^(2^s) - 1)才對，您同餘式右邊怎麼變成(-1)了呢？ 而且您找得到s，使得[10^(2^s)-1]為1001的因數嗎？ 我沒有希求回答者證明什麼性質，您卻證明了； 我希求回答者找出這裡面 "每一個" 合數的至少一個正因數，您反倒沒找， 看樣子您當初應該找的。|||||這條的所謂「問題」，其實已經有人在研究中。 http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009062100157 http://www1.uni-hamburg.de/RRZ/W.Keller/GFN10.html http://www.research.att.com/~njas/sequences/A102050FBEFE3C2E0474026
x=1到16，判別(10^x+1)是否質數
發問:
此文章來自奇摩知識+如有不便請留言告知
f(x)=10^x+1 請問f(1), f(2), f(3).......f(16)這十六個數哪幾個是質數？哪幾個是合數？ 是合數者，請列出至少一個它的正因數。 (不必然是質因數，更不必因數分解，只要能確認它是合數即可) 例如f(16)：合數，有正因數353。這樣即可。最佳解答:
其實題目可更改為： 若 (2,m)=1、s 為非負整數、a 為大於 1 的正整數， 若 a^(m*2^s) + 1 為質數，則 m = 1。 因為當 m > 1 時： a^(m*2^s) + 1 = [ a^(2^s) ]^m + 1 ≡ (-1)^m + 1 ≡ 0 (mod a^(2^s) - 1) 所以 a^(m*2^s) + 1 為 a^(2^s) - 1 的倍數且 [ a^(m*2^s) + 1 ] > [ a^(2^s) - 1 ] ---> a^(m*2^s) + 1 必為合數。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以您的問題 10^x+1 是否為質數， 只有當 x = 2^s 時候才有可能。 (1) f(1) = 10^1+1 = 11 為質數。 (2) f(2) = 10^2+1 = 101 為質數。 (3) f(4) = 10^4+1 = 10001 = 73*137 不為質數。 (4) f(8) = 10^8+1 = 100000001 = 17*5882353 不為質數。 (5) f(16) = 10^16+1 = 10000000000000001 = 353*449*641*1409*69857 不為質數。 2009-11-11 17:43:04 補充： 感謝 doraemonpaul 提供的資訊！ 2009-11-11 23:52:43 補充： 更正錯誤之處，打太快！ 因為當 m > 1 時： a^(m*2^s) + 1 = [ a^(2^s) ]^m + 1 ≡ (-1)^m + 1 ≡ 0 (mod a^(2^s) + 1) 所以 a^(m*2^s) + 1 為 a^(2^s) + 1 的倍數且 [ a^(m*2^s) + 1 ] > [ a^(2^s) + 1 ] ---> a^(m*2^s) + 1 必為合數。 2009-11-11 23:58:35 補充： 所以 [1] f(3)、f(5)、f(7)、f(9)、f(11)、f(13)、f(15) 必有 10^(2^0)+1 = 11 的因數。 [2] f(6)、f(10)、f(14) 必有 10^(2^1)+1 = 101 的因數。 [3] f(12) 必有 10^(2^2)+1 = 10001 的因數。
其他解答:
cutebaby大： 您應該證明錯了。 a^(2^s)≡1(mod a^(2^s) - 1)才對，您同餘式右邊怎麼變成(-1)了呢？ 而且您找得到s，使得[10^(2^s)-1]為1001的因數嗎？ 我沒有希求回答者證明什麼性質，您卻證明了； 我希求回答者找出這裡面 "每一個" 合數的至少一個正因數，您反倒沒找， 看樣子您當初應該找的。|||||這條的所謂「問題」，其實已經有人在研究中。 http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009062100157 http://www1.uni-hamburg.de/RRZ/W.Keller/GFN10.html http://www.research.att.com/~njas/sequences/A102050FBEFE3C2E0474026
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