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國中數學難題(急需解答和算法)
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就用填格子的方式解釋.符合題目條件的只有四組情況. 187 297 154 264 539 638 836 935 462 451 792 781 187 539 462 延著734的對角線對稱翻轉可以得到 297 638 451 這兩組答案的ceg均為734 將這兩組答案延著aei這條對角線對稱翻轉 第一組就變成了第三組(ceg=437) 第二組就變成了第四組 當e=3時要檢查24組情況 但每4組情況經由翻轉都可以對應到 所以只要檢查6組無法經由翻轉得到的情況(24/4=6) e不等於3時,也就是e=1,2,4,5,6,7,8,9時 有6x8=48組無法翻轉的情況. 這48組全部不滿足條件. e=3時的6組也只有一組滿足條件. 只示範e=3的6組狀況. 首先11的倍數判別法則表示 百位數字+個位數字-十位數字=0 or 11時 此三位數才是11的倍數 如果是0.有兩種情況.1+2-3=0,(2+1-3=0) 但個位數字跟百位數字交換等於翻轉圖形 所以我們只需要1+2-3=0就夠了(132跟231是沒差的) 如果是11時只需要5+9-3=11,6+8-3=11 ------------------------------------------------------- 4+10,5+9,6+8,7+7,8+6,9+5,10+4 很明顯的10已經超過範圍.更不用說11+3了 7+7則是重覆出現7兩次 5+9跟9+5只取1組 ------------------------------------------------------- 能夠滿足e為3且各位數字不重覆的11的倍數 做為{個位數字,十位數字}的集合只有右列三種可能{1,2},{5,9},{6,8} 注意1只能跟2配對.不能跟5,9或6,8配對 然而aei,beh,def都是11的倍數且中間均為e 所以{a,i},{b,h},{d,f}恰巧分別就是{1,2},{5,9},{6,8}這三個集合 {a,i}={1,2}時;b,h=5,9或9,5 b=5時可以翻轉4種情況.b=9時可以翻轉4種情況. 檢驗這2種情況等於檢驗8種情況 {a,i}={5,9},{6,8}又分別可以檢驗8種情況 所以{a,i}={1,2},{5,9},{6,8}可以檢驗24種情況(但我們簡化為6種) (1).{a,i}={1,2}時, 5,9跟9,5的位置交換就檢驗完了 改成6,8跟8,6交換也行 {5,9}跟{6.8}只要隨便選1組檢驗就行 因為都是翻轉的結果 15x w3z y92 其中1-5=-4,-4+x=11or0,x=4or15(15不合) x=4,w跟z要放6或8,所以y一定等於7 154 w3z 792 接著w一定等於8.z一定等於6.這樣才能滿足11倍數的條件. 即 154 836 792 將此答案翻轉可得最前面四組答案 不用說734當然比437大 (2).{a,i}={1,2}時 19x 198 w3z w3z y52 y52 x一定為8,但8是w或z其中一個.產生矛盾.此組解不合. (3).{a,i}={5,9}時 51x 517 517 517 w3z w3z 83z 63z y29 429 429 429 x一定為7.y必須為4.照順序檢查. 4+9-2=11,5+4-8=1,5+4-6=3,(1,3不合倍數判別法則) (4).{a,i}={5,9}時 52x 528 w3z w3z y19 y19 x一定為8.同(2)例中的矛盾. (5).{a,i}={6,8}時 61x 616 w3z w3z y28 y28 x必須為6.6出現2次.矛盾 (6).{a,i}={6,8}時 62x 627 627 627 w3z w3z 53z 93z y18 418 418 418 x一定為7,y一定為4. 4+8-1=11.6+4-5=5.6+4-9=1.不和判別法則. 其餘48組按上述程序跟順序檢查均不符倍數判別法則. 所以答案為734. 2013-04-28 07:24:47 補充： 當然用高中教的mod更好!! 不過如果你對am+an=ag這概念熟悉深入的話. 也就是a的倍數+a的倍數=a的倍數這觀念. 就可以在國中自己發展出自己的同餘符號給自己用 雖然mod是高中教的. 不過可以根據上述概念自己設計同餘符號(mod)給自己使用. 2013-04-28 09:30:44 補充： 同餘的觀念到國中可以改用倍數的觀念 餘數不為0用同餘觀念.餘數為0用倍數觀念. 所有餘數不為0的形式都能改成餘數為0的形式 如果不採用使用倍數觀念的同餘符號 就直接用倍數的表示法來利用同餘觀念 令a+c-b=11k1 a+g-d=11k4 d+f-e=11k2 b+h-e=11k5 g+i-h=11k3 c+i-f=11k6 a+i-e=11k7 k1、k2、k3、k4、k5、k6、k7為符號數字 可視為是m、n、o、p、q、r、s 為方便閱讀用k1~k7代替 (a+c-b)+(d+f-e)+(g+i-h)=11(k1+k2+k3) 2013-04-28 09:41:38 補充： (a+c+d+f+g+i)+(b+h+e)=2x(b+h+e)+11(k1+k2+k3) 因為b+h=e+11k5,(a+c+d+f+g+i+b+h+e)=44所以 45=4e+11(k1+k2+k3+2xk5) e=1~9 45-4e=41,37,33,29,25,21,17,13,9 因為45-4e=11(k1+k2+k3+2xk5)=11k(k為整數) 故45-4e為11的倍數,即45-4e=33,e=3 a+i-3=11k7,b+h-3=11k5,d+f-3=11k2 {a,i},{b,h},{d,f}集合為{1,2},{5,9},{6,8}三集合的任意排列 2013-04-28 09:49:37 補充： {c,g}={1~9}-{a,i}-{b,h}-{d,f}-{e} ={1~9}-{1,2}-{5,9}-{6,8}-{3} ={4,7} {c,g}={4,7},c=4則g=7,c=7則g=4 ceg要最大值.c=7,g=4,e=3.ceg=734 若b+h=3 (1)b=1時,a=5,i=9,5+4-8=1,5+4-6=3 (2)b=2時,a=6,i=8,6+4-9=1,6+4-5=10 兩者皆矛盾,故b+h不等於3 若d+f=3 (1)d=1時,a=8,i=6,4+6-5=5,4+6-9=1 (2)d=2時,a=9,i=5,4+5-8=1,4+5-6=3 2013-04-28 09:54:39 補充： 同前例違反11的倍數判別法則.矛盾. 所以a+i=3 a=1時,可推得 187 539 462 a=2時,可推得 297 638 451 有兩例成立且其他例子均被證明推翻. 故ceg=734 2013-04-28 10:05:21 補充： 高中作法,≡唸作同餘 要注意的是3≡c+g(mod11)這一行是錯的 c+g≡4+7≡11≡0(mod11) 0不同餘3,所以c+g不同餘3 數對(a,i)、(b,h)、(d,f)可為(1,2),(6,8),(5,9)的任意排列 (c,g)為(1,2,3,4,5,6,7,8,9)-(1,2,6,8,5,9)-(3)=(4.7) //個人自創符號.可拓展數對意義 (c,g)=(4,7)或(7,4),可推得上列兩例 故ceg=734 填格子是國小作法解答. 倍數是國中作法解答 同餘(≡)是高中作法解答 不同年齡層挑戰不同解答 年齡層越高寫法越簡略 所以數學家發明符號 2013-04-30 13:44:28 補充： 感謝伊 兒?～花飄落 霧朦朧～的漂亮解答 2013-04-30 13:55:39 補充： 更正 (a+c+d+f+g+i+b+h+e)=44 ->(a+c+d+f+g+i+b+h+e)=45
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國中數學難題(急需解答和算法)
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在下面3乘3的九宮格內,將九個不同的數字1,2,3,4,5,6,7,8,9分別填入方格中,使得七個三位數abc,def,ghi,adg,beh,cfi,aei都能被11整除。請問三位數ceg的最大值是甚麼? (抱歉我不會畫格子.......因該看得懂吧?) a b c d e f g h i最佳解答:
就用填格子的方式解釋.符合題目條件的只有四組情況. 187 297 154 264 539 638 836 935 462 451 792 781 187 539 462 延著734的對角線對稱翻轉可以得到 297 638 451 這兩組答案的ceg均為734 將這兩組答案延著aei這條對角線對稱翻轉 第一組就變成了第三組(ceg=437) 第二組就變成了第四組 當e=3時要檢查24組情況 但每4組情況經由翻轉都可以對應到 所以只要檢查6組無法經由翻轉得到的情況(24/4=6) e不等於3時,也就是e=1,2,4,5,6,7,8,9時 有6x8=48組無法翻轉的情況. 這48組全部不滿足條件. e=3時的6組也只有一組滿足條件. 只示範e=3的6組狀況. 首先11的倍數判別法則表示 百位數字+個位數字-十位數字=0 or 11時 此三位數才是11的倍數 如果是0.有兩種情況.1+2-3=0,(2+1-3=0) 但個位數字跟百位數字交換等於翻轉圖形 所以我們只需要1+2-3=0就夠了(132跟231是沒差的) 如果是11時只需要5+9-3=11,6+8-3=11 ------------------------------------------------------- 4+10,5+9,6+8,7+7,8+6,9+5,10+4 很明顯的10已經超過範圍.更不用說11+3了 7+7則是重覆出現7兩次 5+9跟9+5只取1組 ------------------------------------------------------- 能夠滿足e為3且各位數字不重覆的11的倍數 做為{個位數字,十位數字}的集合只有右列三種可能{1,2},{5,9},{6,8} 注意1只能跟2配對.不能跟5,9或6,8配對 然而aei,beh,def都是11的倍數且中間均為e 所以{a,i},{b,h},{d,f}恰巧分別就是{1,2},{5,9},{6,8}這三個集合 {a,i}={1,2}時;b,h=5,9或9,5 b=5時可以翻轉4種情況.b=9時可以翻轉4種情況. 檢驗這2種情況等於檢驗8種情況 {a,i}={5,9},{6,8}又分別可以檢驗8種情況 所以{a,i}={1,2},{5,9},{6,8}可以檢驗24種情況(但我們簡化為6種) (1).{a,i}={1,2}時, 5,9跟9,5的位置交換就檢驗完了 改成6,8跟8,6交換也行 {5,9}跟{6.8}只要隨便選1組檢驗就行 因為都是翻轉的結果 15x w3z y92 其中1-5=-4,-4+x=11or0,x=4or15(15不合) x=4,w跟z要放6或8,所以y一定等於7 154 w3z 792 接著w一定等於8.z一定等於6.這樣才能滿足11倍數的條件. 即 154 836 792 將此答案翻轉可得最前面四組答案 不用說734當然比437大 (2).{a,i}={1,2}時 19x 198 w3z w3z y52 y52 x一定為8,但8是w或z其中一個.產生矛盾.此組解不合. (3).{a,i}={5,9}時 51x 517 517 517 w3z w3z 83z 63z y29 429 429 429 x一定為7.y必須為4.照順序檢查. 4+9-2=11,5+4-8=1,5+4-6=3,(1,3不合倍數判別法則) (4).{a,i}={5,9}時 52x 528 w3z w3z y19 y19 x一定為8.同(2)例中的矛盾. (5).{a,i}={6,8}時 61x 616 w3z w3z y28 y28 x必須為6.6出現2次.矛盾 (6).{a,i}={6,8}時 62x 627 627 627 w3z w3z 53z 93z y18 418 418 418 x一定為7,y一定為4. 4+8-1=11.6+4-5=5.6+4-9=1.不和判別法則. 其餘48組按上述程序跟順序檢查均不符倍數判別法則. 所以答案為734. 2013-04-28 07:24:47 補充： 當然用高中教的mod更好!! 不過如果你對am+an=ag這概念熟悉深入的話. 也就是a的倍數+a的倍數=a的倍數這觀念. 就可以在國中自己發展出自己的同餘符號給自己用 雖然mod是高中教的. 不過可以根據上述概念自己設計同餘符號(mod)給自己使用. 2013-04-28 09:30:44 補充： 同餘的觀念到國中可以改用倍數的觀念 餘數不為0用同餘觀念.餘數為0用倍數觀念. 所有餘數不為0的形式都能改成餘數為0的形式 如果不採用使用倍數觀念的同餘符號 就直接用倍數的表示法來利用同餘觀念 令a+c-b=11k1 a+g-d=11k4 d+f-e=11k2 b+h-e=11k5 g+i-h=11k3 c+i-f=11k6 a+i-e=11k7 k1、k2、k3、k4、k5、k6、k7為符號數字 可視為是m、n、o、p、q、r、s 為方便閱讀用k1~k7代替 (a+c-b)+(d+f-e)+(g+i-h)=11(k1+k2+k3) 2013-04-28 09:41:38 補充： (a+c+d+f+g+i)+(b+h+e)=2x(b+h+e)+11(k1+k2+k3) 因為b+h=e+11k5,(a+c+d+f+g+i+b+h+e)=44所以 45=4e+11(k1+k2+k3+2xk5) e=1~9 45-4e=41,37,33,29,25,21,17,13,9 因為45-4e=11(k1+k2+k3+2xk5)=11k(k為整數) 故45-4e為11的倍數,即45-4e=33,e=3 a+i-3=11k7,b+h-3=11k5,d+f-3=11k2 {a,i},{b,h},{d,f}集合為{1,2},{5,9},{6,8}三集合的任意排列 2013-04-28 09:49:37 補充： {c,g}={1~9}-{a,i}-{b,h}-{d,f}-{e} ={1~9}-{1,2}-{5,9}-{6,8}-{3} ={4,7} {c,g}={4,7},c=4則g=7,c=7則g=4 ceg要最大值.c=7,g=4,e=3.ceg=734 若b+h=3 (1)b=1時,a=5,i=9,5+4-8=1,5+4-6=3 (2)b=2時,a=6,i=8,6+4-9=1,6+4-5=10 兩者皆矛盾,故b+h不等於3 若d+f=3 (1)d=1時,a=8,i=6,4+6-5=5,4+6-9=1 (2)d=2時,a=9,i=5,4+5-8=1,4+5-6=3 2013-04-28 09:54:39 補充： 同前例違反11的倍數判別法則.矛盾. 所以a+i=3 a=1時,可推得 187 539 462 a=2時,可推得 297 638 451 有兩例成立且其他例子均被證明推翻. 故ceg=734 2013-04-28 10:05:21 補充： 高中作法,≡唸作同餘 要注意的是3≡c+g(mod11)這一行是錯的 c+g≡4+7≡11≡0(mod11) 0不同餘3,所以c+g不同餘3 數對(a,i)、(b,h)、(d,f)可為(1,2),(6,8),(5,9)的任意排列 (c,g)為(1,2,3,4,5,6,7,8,9)-(1,2,6,8,5,9)-(3)=(4.7) //個人自創符號.可拓展數對意義 (c,g)=(4,7)或(7,4),可推得上列兩例 故ceg=734 填格子是國小作法解答. 倍數是國中作法解答 同餘(≡)是高中作法解答 不同年齡層挑戰不同解答 年齡層越高寫法越簡略 所以數學家發明符號 2013-04-30 13:44:28 補充： 感謝伊 兒?～花飄落 霧朦朧～的漂亮解答 2013-04-30 13:55:39 補充： 更正 (a+c+d+f+g+i+b+h+e)=44 ->(a+c+d+f+g+i+b+h+e)=45
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